# Mathématiques

Niveau secondaire et collégial

# Le nombre e au niveau secondaire

L’objectif de cette section est de présenter les exigences ministérielles relatives à l’enseignement du nombre e au Québec, et ce, au niveau secondaire.
Ancien programme
Le programme dont il s’agit ici est celui qui précède le programme de formation présentement en vigueur, qui est traité plus bas. Son application remonte aux années antérieures à 2000. Dans ce programme, pour les deux dernières années du deuxième cycle du secondaire, l’enseignement des mathématiques est abordé selon trois profils, identifiés respectivement par les codes 416, 426 et 436 pour le 4e secondaire, et 514, 526 et 536 pour le 5e secondaire.
En ce qui concerne les sujets relatifs au nombre e et aux fonctions exponentielles et logarithmiques, seuls les profils 526 et 536 les abordent spécifiquement. Dans le programme 526, les élèves de 5e secondaire étudient en profondeur la fonction exponentielle en posant tout de même un regard sur sa réciproque, la fonction logarithmique. En 536, les élèves font l’étude intégrale des fonctions exponentielle et logarithmique en mettant l’emphase sur les caractéristiques de ces fonctions et sur le passage de la règle à la représentation graphique. La notion de réciproque y est aussi abordée. De plus, les élèves doivent développer leur compréhension du lien exposant-logarithme et développer leurs habiletés à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques.
Bien que ce programme ne fasse pas référence aux bases qu’il est suggéré d’utiliser avec les élèves, il a été relevé dans les manuels Réflexions mathématiques 536 et Mathophilie 536 sanctionnés par ce programme que la base e est fréquemment utilisée dans les exercices proposés aux élèves. Une très brève description de l’origine du nombre e figure également dans les chapitres sur les fonctions exponentielles et logarithmiques de ces manuels. Ainsi, sans l’énoncer explicitement, on devine que le ministère approuve l’utilisation de e comme base lors de l’étude des fonctions exponentielles et logarithmiques au secondaire.
Programme actuel
Le Programme de formation de l’école québécoise est celui en vigueur depuis l’an 2000. Ce programme a rejoint le niveau secondaire graduellement depuis septembre 2003. Au deuxième cycle, soit en 4e et 5e année du secondaire, ce programme scinde l’enseignement des mathématiques en trois séquences que voici : Culture-Société-Technique, Technico-Sciences et Sciences Naturelles. Ainsi, en 3e secondaire, les élèves sont amenés à choisir le type de mathématiques qui les intéresse le plus pour leurs deux dernières années d’études secondaires.
En regard du sujet ciblé, soit le nombre e, et implicitement les fonctions exponentielles et logarithmiques, seules les deux dernières séquences seront analysées, puisque la première ne traite aucunement du dit sujet.
- Séquence Technico-Sciences
Au cours de la 4e année du secondaire, les élèves de cette séquence sont amenés à explorer les équations et les fonctions exponentielles avec différentes bases. Ils doivent pouvoir résoudre une équation exponentielle et comprendre le rôle des paramètres sur l’allure de la courbe de la fonction exponentielle. Les élèves traitent également les fonctions logarithmiques, mais uniquement dans la perspective qu’il s’agit de la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les équations logarithmiques sont aussi vues comme utiles à la résolution des équations exponentielles.
- Séquence Sciences Naturelles
Pour cette séquence, c’est en 5e année du secondaire que les élèves se familiarisent au concept de fonctions exponentielles et logarithmiques. Si le rôle des paramètres sur l’allure de ces courbes est étudié plus en profondeur que pour l’autre séquence d’enseignement, les propriétés de ces fonctions le sont également. Les élèves sont conscients que ces deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre, mais ils en font l’étude de manière à traiter chacune d’elle dans son intégrité. La résolution d’équations exponentielles et logarithmiques est aussi abordée, et ce, avec différentes bases.
Dans la section « Éléments de méthode » de cette séquence du programme, il est spécifié que le concept de limite doit être introduit de manière intuitive afin de favoriser une meilleure compréhension de certaines situations, notamment en ce qui concerne les fonctions exponentielles et logarithmiques. Cela implique qu’il est souhaitable de présenter la découverte du nombre e tel que l’a fait Bernouilli (voir la section Historique du nombre e), afin de satisfaire cette exigence du programme. Un peu plus loin dans le descriptif de la séquence d’enseignement, on propose justement d’effectuer le calcul d’intérêts composés en classe, comme activité d’approfondissement.
En conclusion, pour l’une ou l’autre des deux séquences proposées au deuxième cycle du secondaire, le Programme de formation de l’école québécoise n’exige pas l’utilisation de la base e de manière spécifique dans sa documentation officielle. Par ailleurs, il a été constaté dans un des manuels approuvés par le Ministère du l’éducation, du Loisir et du Sport (MELS), le manuel Visions, que la base e est utilisée dans plusieurs exercices suggérés aux élèves. Ce manuel aborde également la question du nombre e tel que l’a fait Bernouilli dans le passé. Sans le spécifier formellement, on suppose que le MELS considère tout de même le nombre e comme une notion importante.
Bibliographie

- BOIVIN, Claude ; BOIVIN, Dominique ; LEDOUX, Antoine ; MEYER, Étienne ; POMERLEAU, François ; ROY, Vincent. Vision : Manuel de l’élève Volume 1 - Version provisoire, Les Éditions CEC Inc. Montréal, 2009.
- BRETON, Guy ; BOURDEAU, Claire ; CÔTÉ, Benoît, DELISLE, Claude ; DESCHÊNES, André ; LEDOUX, Antoine. Réflexions mathématiques 536, Tome 2, Les Édition CEC Inc. Montréal, 1999.
- LAFORTUNE, Louise ; MASSÉ, Bernard. Mathophilie 536, Tome 2, © Guérin Éditeur ltée, Montréal. 1998
- MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION. Programmes d’études - Mathématiques 526 Transitoire, © Gouvernement du Québec, Québec, 1999
- MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION. Programmes d’études - Mathématiques 536, © Gouvernement du Québec, Québec, 1997
- MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION, DU LOISIR ET DU SPORT. Programme de formation de l’école Québécoise – Enseignement secondaire : deuxième cycle, © Gouvernement du Québec, Québec, 2007.