lEspérance mathématique

L'espérance mathématique est la moyenne pondérée des résultats d'une expérience aléatoire dans laquelle les facteurs de pondération sont les probabilités d'obtenir chacun des résultats. Elle est généralement utilisée dans des situations impliquant des gains. Il s'agit donc de la somme des probabilités de chaque résultat et des gains correspondants. Elle est censé représenter la moyenne des gains si nous exécutons un nombre élevé de fois l'expérience aléatoire dont il est question.

#### ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE N'IMPLIQUANT PAS UNE MISE DE JEU

Il s’agit ici de jeux qui ne nécessite pas une mise de départ, qui ne nécessite pas de débourser de l’argent pour jouer.

Espérance mathématique = probabilité x gain + probabilité x gain + ...

Ex. : On fait tourner la roue suivante. Quel est l’espérance mathématique de cette roue?
Voici donc les différents prix et la probabilité qu'ils ont de se produire:
Aucun gain: 3/24
500$: 3/24
1000$: 3/24
1500$: 7/24
2000$: 2/24
2500$: 4/24
3000$: 2/24
Si nous calculons l'espérance mathématiques, le calcul se fait comme suit:
0 x 3/24 + 500 x 3/24 + 1000 x 3/24 + 1500 x 7/24 + 2000 x 2/24 + 2500 x 4/24 + 3000 x 2/24 =
= 1458,33$
On peut donc affirmer que si nous faisons tourner la roue un grand nombre de fois, nous gagnerons, en moyenne, 1458,33$
Remarque:

- La valeur moyenne des résultats obtenus en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de fois tend vers l'espérance mathématique
- L'espérance mathématique d'un jeu de hasard dépend du prix à payer et des prix à gagner pour y participer.

#### ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE IMPLIQUANT UNE MISE DE JEU

La différence ici est que l'on doit considérer le prix à payer pour jouer au jeu dans les gains potentiels du joueurs. La formule est donc presque identique à la différence qu'on y soustrait la mise de départ:

Espérance mathématique = probabilité x gain + probabilité x gain + ... - mise de départ

Ex.: Si nous reprenons l'exemple du haut, mais que le joueur doit miser 500$ pour tourner la roue, alors dans ce cas l'espérance mathématique ne sera plus de 1458,33$, mais bien de ce montant auquel on a enlevé 500$, c'est-à-dire 958,33$

Dans la simulation suivante, nous vous proposons d'entrer une liste de prix à gagner ainsi que la probabilité de gagner chacun de ces prix. Le fichier calculera pour vous l'espérance tout en vous donnant le détail du calcul. (Si vous n'avez pas 10 prix, laissez les 0 dans le fichier)

Espérance mathématique

#### INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS

Dans un eu qui consiste à effectuer une expérience aléatoire et où il est possible de gagner ou de perdre des points, des objets ou de l’argent, il y a trois possibilités. Le jeu est :

- Favorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est positive
- Défavorable à la joueuse ou au joueur si l’espérance mathématique est négative
- Équitable si l’espérance mathématique est nulle

Vidéos utiles:

L'espérance mathématique:

http://www.youtube.com/watch?v=EocWbJGqt54

## Contenu théorique

- Espérance mathématique n'impliquant pas une mise
- Espérance mathématique impliquant une mise de jeu
- Interprétation des résultats