Fonctions itérées

La figure ci-dessous illustre une situation à la fois simple et complexe. Au départ, on considère une fonction f(x) et un point a de son domaine. Puis on définit successivement

`a_0 = a, a_1 = f(a_0), ... , a_(n+1) = f(a_n), ...`

et on s'intéresse à ce qui se passe quand n tend vers l'infini.

Au départ, la fonction est `f(x)=ax(1-x)`, et on peut observer divers phénomènes selon la valeur de `a` : convergence, oscillation entre 2 ou plusieurs valeurs, et comportement cahotique. On peut aussi changer la fonction en tapant sa nouvelle définition dans le champs de saisie : f(x)=cos(a*x), par exemple.

L'idée de fonctions itérées est au coeur de nombreux travaux sur les fractals, et nous avions déjà expérimenté ce phénomène dans un autre contexte. Mais nous l'avons utilisé avec GeoGebra pour la première fois lors du Congrès de l'AMQ 2011.